立方差
这是多项式相乘的一个特别情况,得到的结果是:a3 - b3
多项式
多项式看起来像这样:
多项式例子 |
立方差
立方差是多项式相乘的一个特别情况:
(a−b)(a2+ab+b2) = a3 − b3
有时候我们在求解时会遇到它,所以把它记住是挺有用的。
在这里你可以看到它的来龙去脉。
几何例子
看看两个大小分别为 x 和 y 的立方体:
大小为 "x" 的立方体可以被分拆为四个长方体, A 长方体是大小为 "y"
的立方体:
这些长方体的体积是:
- A = y3
- B = x2(x – y)
- C = xy(x – y)
- D = y2(x – y)
但放在一起,A、B、C 和 D 凑成的大立方体的体积是 x3:
x3 | = | y3 + x2(x – y) + xy(x – y) + y2(x – y) |
x3 – y3 | = | x2(x – y) + xy(x – y) + y2(x – y) |
x3 – y3 | = | (x – y)(x2 + xy + y2) |
对了!公式没错!
立方和
还有"立方和"的公式
把 b 的正负号倒转,这便成为:
(a+b)(a2−ab+b2) = a3 + b3
(留意 "ab" 前面也有个负号)
立方差公式
立方差公式是數學中常用公式之一,在高中數學階段即可接觸該公式,且在數學研究中該式占有很重要的地位,甚至在高等數學、微積分中也經常用到。立方差公式與立方和公式共稱為完全立方公式。具體表述為:兩數的平方和加上兩數的積再乘以兩數的差,所得到的積就等於兩數的立方差。用公式表達即:a-b=(a-b)(a+ab+b) 。
基本信息
- 中文名:立方差公式
- 英文名:Difference of Cubes
- 表達式:a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)
- 套用學科:數學
立方差公式與立方和公式統稱為立方公式,兩者基本描述如下 :簡介
立方和公式,即兩數立方和等於這兩數的和與這兩數平方和與這兩數積的差的積。也可以說兩數立方和等於這兩數積與這兩數差的不完全平方的積 。
立方差公式,即兩數立方差等於這兩數差與這兩數平方和與這兩數積的和的積。也可以說,兩數立方差等於兩數差與這兩數和的不完全平方的積 。
證明
初級證明
由於立方項不好拆分,但是我們學過,遇到高階項要儘量採用低階項來對其進行簡化處理,所以很容易想到a ,同時由於對a 降階的同時還要和b 進行結合,所以很容易想到a b這樣一個加法項,因此對上式採取分別加和減一個a b項,得到下式,同時進行相應的合併
證得:
高級證明
因為
所以根據交換律法則:
證得:
公式推廣
類似的,我們有立方和公式及其推廣:
n為大於零的奇數,r為中括弧內項的序數,後面括弧中各項式的冪之和都為n-1,a 表示a的n次方。(n大於0且n不等於2)
解題時常用它的變形:
和
相應的,立方差公式也有變形
因此其推廣 :
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中學代數詞典
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