氣體動力論 (Kinetic theory of gases) 我們也許都有一個經驗,媽媽把自來水裝進熱水壺裡面,放在瓦斯爐上加熱燒開水,就在水沸騰的時候,汽笛的孔會冒出大量白煙,並且發出鳴笛聲提醒。這時候我們發現一個問題,水氣以及小水滴從汽笛的孔一直噴出,這是為什麼呢? 若按照「壓力」的觀點,水壺裡面似乎有個比較大的壓力一直往外面推,將裡面的水分子推至空氣之中,這個推論看起來還不錯,但又衍生一個問題,壓力哪來的?容器裡必定有物質在施力,可是沒有其他東西了,難道說是那些水分子?看來也只能這樣假設了。 「氣體動力論」就是在描述氣體分子的動力行為,假設微觀分子的運動模式可以表現在宏觀的物理狀態。為了簡化模型,我們先對這些分子做一些假設:
有了這些假設,我們對「彈性碰撞」著手進行,考慮一個方盒子,空間三個方向的邊長都是 \(L\),因為數量極為龐大,所以三個方向發生的事情會一樣。我們先考慮 \(x\) 方向,假設 \(x\) 方向的速度平均為 \(v_x\),撞到容器會彈性碰撞,所以某一個分子動量的變化 \(\Delta P_x\): \(\Delta P_x=mv_x-(-mv_x)=2mv_x\) 而且因為邊長是 \(L\),所以下次撞擊同一面容器的時候平均來說需要時間 \(\Delta t\): \(\Delta t=\displaystyle\frac{2L}{v_x}\) 太棒了,我們有「動量變化」跟「經過的時間」,緊接著就可以算出 \(x\) 方向平均受力 \(F_x\): \(F_x=\displaystyle\frac{\Delta P_x}{\Delta t}=\frac{mv_x^2}{L}\) 同理: \(F_y=\displaystyle\frac{\Delta P_y}{\Delta t}=\frac{mv_y^2}{L}\) \(F_z=\displaystyle\frac{\Delta P_z}{\Delta t}=\frac{mv_z^2}{L}\) 接著我們知道分子真正的速率 \(v\) 會滿足: \(v^2=v_x^2+v_y^2+v_z^2\) 而且再強調一次,因為「數量龐大」,所以基本上三個方向的分量會平均分配,因此: \(F_x=F_y=F_z=\displaystyle\frac{mv^2}{3L}\) 所以每個面受到的壓力 \(P\): \(P=\displaystyle\frac{F}{A}=\frac{mv^2}{3L^3}=\frac{mv^2}{3V}\) 其中 \(V\) 就是方盒子體積。 經過這些辛苦的推導,我們成功把分子的速率跟盒子內的壓力連結在一起了,真的是可喜可賀,只要測量出宏觀的物理量(壓力),竟然可以知道分子速率!但故事還沒說完,根據前人的智慧,有一個相當普遍而有用的方程式─理想氣體方程式: \(PV=NkT\) 這是綜合了波以耳、查理、給呂薩克這些物理學家做實驗所歸納出來的結果,最後再經過推理彙整而成的。因此我們把之前推導壓力的式子整理一下,現在氣體有 \(N\)個氣體分子: \(\displaystyle P=\frac{Nmv^2}{3V}=\frac{NkT}{V}\) 進一步改寫成: \(\displaystyle\frac{1}{2}mv^2=\frac{3}{2}kT\) 等式左邊就是動能,因此我們推得每一個分子平均動能 \(K\): \(K=\displaystyle\frac{3}{2}kT\) 這個結果把分子平均動能跟容器溫度連結一起了,可以清楚知道動能與溫度的關係,即溫度是來自於分子的動能。再整理一下方程式,可以得到速率 \(v\): \(v=\displaystyle\sqrt{\frac{3kT}{m}}\) 到這邊我們先回顧一下剛剛推導過程,剛剛我們都只考慮一個方向,反正因為平均,三個方向都會一樣,且 \(x\) 方向的動能是總動能的 \(3\) 分之 \(1\),最後推導出這個 \(v\)。這個 \(v\) 是由三個方向的平方合,然後平均分配給三個方向,最後開根號得到的,所以這個速率又稱為「方均根速率」。 方均根速率恰巧也可以利用「分子速率的馬克士威分布」證明,結果一樣。利用氣體動力論,我們還可以進一步計算出氣體擴散的速率以及熱傳導快慢等等巨觀性質。 參考文獻
理想單原子分子氣體的溫度是其分子的平均動能的量度。 分子運動論(英語:kinetic theory of gases,又稱氣體動力論)是描述氣體為大量做永不停息的隨機運動的粒子(原子或分子,物理學上一般不加區分,都稱作分子)。快速運動的分子不斷碰撞其他分子或容器的壁。分子運動理論就是通過分子的成分和運動來解釋氣體的宏觀性質,如壓力、溫度、體積等。分子運動理論認為,壓力不是如牛頓猜想的那樣,來自分子之間的靜態排斥,而是來自以不同速度做熱運動的分子之間的碰撞。 分子的體積很小,不能直接觀察。顯微鏡下花粉顆粒等做的無規則運動——布朗運動,是分子碰撞的直接結果,可以作為分子存在的間接證據。 理論假設[編輯]理想氣體動理論建立在如下假設之上:
分子動力學的現代理論建立在波爾茲曼方程式的基礎之上,對以上假設有所放寬,並將分子體積考慮進去,因此可以精確描述稠密氣體。分子動力學的現代理論仍然要考慮的假設有,分子混沌性假設,忽略量子效應。如果氣體比較稠密,本體性質只有小的梯度,可以應用維里展開的方法研究,這方面的理論參見查普曼和恩斯克格的專著。[1] 對於稀薄氣體,本體性質的梯度與分子的平均自由徑相比較,這種情況叫克努森區,可以對克努森數展開來研究。 發展歷史[編輯]人類早在公元前5世紀就開始思考物質的結構問題。古希臘時期著名的樸素唯物主義哲學家德謨克利特就提出,物質是由不可分的原子構成的。這種思想在數個世紀都深刻的影響著人們的世界觀。17世紀科學革命以來,自然科學得到了突飛猛進的進步,特別是熱力學的突破性發展,使人們重新思考物質的結構問題。皮埃爾·伽桑狄、羅伯特·虎克、白努利等科學家的研究表明,物質的液體、固體、氣體三種狀態的轉變是因為分子之間作用的結果,特別是氣體的壓力源於氣體分子與器壁碰撞,從而導出了玻意耳-馬略特定律。 1738年,丹尼爾·白努利發表著作《流體力學》,為氣體動力論的基礎。在這一著作中,白努利提出,氣體是由大量向各個方向運動的分子組成的,分子對表面的碰撞就是氣壓的成因,熱就是分子運動的動能。但是,白努利的觀點並沒有被立即接受,部分原因是,能量守恆定律當時還沒有建立,分子之間為彈性碰撞也不是那麼顯而易見。1744年羅蒙諾索夫第一次明確提出熱現象是分子無規則運動的表現,並把機械能守恆定律應用到了分子運動的熱現象中。1856年,奧古斯特·克羅尼格提出了一個簡單的氣體動力論,他只考慮了分子的平動。[2] 1857年,克勞修斯提出一個更複雜的氣體動力論,除了分子的平動,他還考慮了分子的轉動和振動。他還引入了平均自由徑的概念。[3]1859年,馬克士威在克勞修斯工作的基礎上,提出了分子馬克士威速度分布率。這是物理學史上第一個統計定律。[4] 1871年,波茲曼推廣了馬克士威的工作,提出了馬克士威–波茲曼分布。[5]:36-37 直到20世紀初,很多物理學家仍然認為原子只是假想,並非實在的。直到1905年愛因斯坦[6]和1906年馬利安·斯莫魯霍夫斯基[7]關於布朗運動的論文發表之後,物理學家才放棄此想法。他們的論文給出了分子動力論的準確預言。 意義[編輯]分子運動論使人類正確認識到了物質的結構組成和運動的一般規律,成功解釋了諸如布朗運動等現象,並成為物理學中其他理論,甚至很多其他學科的理論基礎。 性質[編輯]壓力和動能[編輯]在氣體動力論中,壓力是以氣體對某個平面撞擊所造成的力解釋,假設一個邊長為 的正立方體,一顆質量為 的粒子以速率 在完全彈性碰撞的情況下,沿 X 軸撞擊其中一面的動量變化為: 此粒子每隔 便撞擊該面一次,因此該面所受到的力量為: 在一共有 n 個相同粒子的狀況下,該面所受到的總力為: 定義: ,用相同的方式也可以得到: ,因為大量氣體粒子的運動可以視為無規則的運動,因此大量氣體粒子向每一方向的速率分布情形皆相同,所以: ,每個面所受到的壓強為: 以方均根表示其中的 亦可得: 這是分子動理論的第一個非平庸的結果,它把巨觀量壓力與微觀量粒子的平均平動動能聯繫起來。 溫度與動能[編輯]根據理想氣體方程式(,為波茲曼常數,為絕對溫度,粒子數N=n): 於是可得單個分子的動能為: 故系統的總動能可表示為: 這是分子動理論中的一個重要結果:分子的平均動能正比於體系的絕對溫度。 因此,壓力與莫耳體積之積與分子平均平動動能成正比。 對於由個單原子分子組成的氣體體系,自由度總數為,因此每個自由度的動能是 每個自由度的動能正比於溫度,比例係數為波爾茲曼常數的一半,這個結果叫做能量均分定理。 對容器的碰撞[編輯]對於理想氣體,可以推導出n[8] 單位時間內分子對容器單位面積的碰撞次數為 方均根速率[編輯]所有分子速率平方的平均值的平方根 其中 為米/秒 (m/s),R是理想氣體常數,M 為莫耳質量(千克/莫耳 (kg/mol))。其中最有可能的速度為均方根速率的81.6%,而平均速度為均方根速率的92.1%。(馬克士威-波茲曼分布) 參見[編輯]
參考資料[編輯]
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